MODELLO ATOMICO DI BOHR - ULTERIORI APPROFONDIMENTI


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Se riscaldiamo un qualsiasi elemento chimico ponendolo ad esempio su una fiamma, notiamo che esso emette un colore caratteristico. Ad esempio riscaldando alcuni grani di un sale di litio (LiCl, cloruro di litio) prelevati con un filo di platino, si genera  una fiamma di colore rosso viola, riscaldando dei cristalli di un sale di potassio (KCl, cloruro di potassio), la fiamma è di colore verde, mentre un sale di sodio (NaCl, cloruro di sodio) la fiamma è di colore viola.
Il gas idrogeno (H2) portato ad incandescenza emette luce rossa. Analizzando per mezzo di uno spettroscopio la luce emessa dall’idrogeno otteniamo uno spettro a righe di emissione, detto spettro atomico dell’idrogeno. I composti gassosi formano spettri più complessi in cui appaiono gruppi di righe che conferiscono un caratteristico aspetto a bande.
Lo spettro dell’idrogeno (serie di Balmer) presenta una evidente riga nel rosso, una riga nell’azzurro e due righe nel violetto (ricordo che la luce emessa dall’elemento corrisponde al colore della riga spettrale più luminosa). Presenta inoltre, serie di righe spettrali nell’ultravioletto (serie di Lymann) e nell’infrarosso (le serie di Paschen, Brackett e Pfund)
La spettroscopia, può essere quindi considerata un mezzo di analisi. Essa infatti consente di identificare ciascun elemento chimico mediante analisi spettroscopica.
GLI SPETTRI DI DUE ELEMENTI CHIMICI POSSONO ESSERE SIMILI MA MAI UGUALI.
Ritorniamo all’idrogeno.
Le righe del suo spettro di emissione obbediscono alla seguente legge espressa in termini matematici:


ν = R (1/na2 – 1/nb2)


dove:
R = 3,29 x 1015 Hz
na = 1 per le righe nell’ultravioletto
na = 2 per le righe nel visibile
na = 3 per le righe nell’infrarosso
Inoltre per na ed nb vale la seguente relazione: na + 1 ≤ nb
Quindi nb è compreso tra na + 1 e ∞.
In pratica, questa legge descrive le frequenze (ν) delle diverse righe spettrali dell’idrogeno. Per ottenere le frequenze nel visibile si pone na = 2 ed nb in tal caso può assumere i valori da 3 a .
Per le righe spettrali nell’ultravioletto si porrà  na = 1 e i valori di nb saranno allora da 2 a .
Infine, per le righe spettrali nell’infrarosso: na = 3 e nb potrà assumere i valori da 4 a .
La legge suesposta rappresenta una relazione molto importante che tuttavia è stata trovata empiricamente, in pratica solo descrittiva ed i suoi parametri (na, nb, R)sono da considerarsi, per il momento, privi di significato fisico. Successivamente, questa legge matematica verrà interpretata in maniera corretta da Bohr e servirà da supporto per la descrizione del suo modello atomico.
Per poter comprendere il modello atomico di Bohr prima bisogna capire l’ipotesi quantica di Planck.
Un corpo riscaldato emette radiazioni elettromagnetiche con un massimo di emissione ad una lunghezza d’onda (λ) inversamente proporzionale alla temperatura assoluta (T) del corpo, secondo la relazione


λ = k/T (Legge di Wien)

WIEN copy.jpgAd esempio, noi esseri umani, con una temperatura corporea di circa 36 – 37°C (pari a 309,15 - 310,15K) emettiamo onde elettromagnetiche in prevalenza nell’infrarosso.
Questo fenomeno non era interpretabile secondo la teoria elettromagnetica classica, per la quale doveva aumentare solo l’intensità dell’emissione elettromagnetica all’aumentare della temperatura.
Planck interpretò il fenomeno ipotizzando che l’emissione di energia del corpo caldo non è continua ma avviene a pacchetti o quanti ed è multipla di una quantità minima corrispondente ad un quanto di energia pari a:

E = hν oppure E = hc/λ

(Ricordare che esiste una relazione tra lunghezza d’onda e frequenza dell’onda elettromagnetica data da λν = c dove c è la velocità della luce pari a 299792458m/s cioè all’incirca 3 x 108m/s).
h = 6,626 x 10-34 Js (costante di Planck)
Inoltre, Einstein spiegò l’effetto fotoelettrico e chiamò Fotone il quanto di luce.
(Ricordare che intensità di un raggio luminoso si riferisce al numero di fotoni presenti nel raggio stesso).
La luce quindi, e qualsiasi tipo di radiazione elettromagnetica ha una doppia natura, corpuscolare e ondulatoria.
Infatti sussiste la relazione E = hc/λ, da cui λ = hc/E.

(vedi anche il paragrafo natura della luce e modello atomico di Bohr per una trattazione più vasta sulle teoria quantica di Bohr)


Poiché per Einstein E = mc2, sostituendo otteniamo λ = hc/mc2. Semplificando si ottiene alla fine

λ = h/mc

MODELLO ATOMICO QUANTICO DI BOHR
Il modello quantico di Bohr è importante perché giustifica la stabilità dell’atomo, superando le difficoltà insite nel modello atomico di Rutherford. Bohr ipotizzò l’atomo servendosi della teoria quantica di Planck.
Per Bohr l’elettrone si muove su orbite circolari concentriche appartenenti a gusci sferici ad energia costante, chiamati stati stazionari.
Finchè l’elettrone rimane nel suo stato stazionario, la sua energia rimane costante. Se l’elettrone si sposta da un guscio all’altro, la sua energia cambia.
Inoltre, non tutte le orbite sono possibili ma solo quelle che rispettano la seguente relazione empiricamente trovata da Bohr:

r = nh/2πmv

con n ( chiamato da Bohr numero quantico principale) che può assumere come valori solo numeri interi da 1 a ∞.
Tuttavia, per il momento n rimane senza significato fisico.
Inoltre, facendo considerazioni sull’equilibrio tra le forze coulombiane attrattive tra nucleo ed elettrone e la forza centrifuga, Bohr determinò e calcolò il raggio delle orbite dell’elettrone (clicca per saperne di più):

r = a0 n2

dove a0 = 0,529 Å.
Dunque, il raggio dell’orbita dipende da n e con n=1 sarà r=(0,529x12)Å=0,529Å. Con n=2 il raggio dell’orbita elettronica sarà r=(0,529x22)Å=(0,529x4)Å=2,12Å. E così via.
Tenendo conto che l’energia totale dell’elettrone è data dalla somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale determinò l’energia delle varie orbite, trovandola pari a:

E = -2,18 x 10-18/n2 (J)

Dove E = energia totale dell’elettrone
Quindi anche l’energia dell’elettrone dipende da n.
Ponendo E0 = 2,18 x 10-18 (J) la relazione precedente diventa

E = - E0/n2 (J)

Il segno meno nell’ultima relazione sta a significare che all’aumentare del numero n, il valore assoluto del rapporto diminuisce ma il valore di E aumenta poiché il rapporto è negativo. Il valore massimo teorico di E si raggiunge per n = ∞: in questo caso E = 0 e ciò corrisponde all’elettrone isolato, cioè libero dall’atomo.
Se invece n = 1, l’energia dell’elettrone è minima con E = -E0= -2,18 x 10-18 (J).
In questo caso si dice che l’elettrone si trova nel suo stato fondamentale.
Ci tengo ancora una volta a puntualizzare il motivo del segno meno: Perché al massimo di energia posseduta dall’elettrone isolato viene assegnato il valore 0. Tutti gli altri valori corrispondenti alla presenza dell’elettrone nei diversi stati stazionari corrispondono quindi, essendo di minore entità a valori negativi.
Tracciando il diagramma dei livelli energetici (o stati stazionari) per l’elettrone nell’atomo di idrogeno di Bohr, calcolati con la formula E= -E0/n2 (J), otteniamo  il seguente diagramma:


LIVELLIBOHR.jpg

Dunque, l’elettrone che assorbe energia passa ad un livello successivo (transizione) ma rimane in questo stato eccitato per poco tempo, ricadendo (transizione) nei gusci ad energia minore ed emettendo una quantità di energia pari alla differenza di energia fra i due stati stazionari:
cioè: transizione da Eeccit. a Estaz. dove Eeccit. > Estaz.: emissione di energia pari a:
ΔE = Eeccit – Estaz. = -E0/ne2 – (-E0/ns2) =
= -E0/ne2 + E0/ns2 = E0/ns2 -E0/ne2 = E0(1/ns2 -1/ne2)
Dove ns = numero quantico principale dello stato stazionario e ne = numero quantico principale dello stato eccitato.
Dunque:

ΔE = E0(1/ns2 -1/ne2)

Essendo per Planck E = hν e quindi ν = E/h, avremo che:

ν = ΔE/h = E0/h (1/ns2 -1/ne2)

Passando alle misure avremo:
ν = 2,18 x 10-18 J/6,626 x 10-34 Js (1/ns2 -1/ne2) =

= 3,29 x 1015 (1/ns2 -1/ne2) Hz = R (1/ns2 -1/ne2)

Quindi:

ν = R (1/ns2 -1/ne2)

formula identica a quella trovata sperimentalmente per descrivere le frequenze delle righe spettrali dell’idrogeno (confronta inizio appunti) con R=3,29 x 1015 Hz.
Quindi, se nell’equazione di Bohr poniamo ns=1 otteniamo le stesse frequenze sperimentali trovate nella relazione per le righe spettrali che cadono nell’ultravioletto (serie di Lymann). Per ns=2 troviamo le frequenze emesse nel visibile (serie di Balmer). Per  ns=3 troviamo le frequenze emesse nell’infrarosso (serie di Paschen).
Bohr dunque, spiega le frequenze delle righe spettrali e giustifica l’emissione nell’ultravioletto durante la ricaduta dell’elettrone sul livello n = 1.
seriespettrali.jpg

Per concludere, è intuibile che:
Le frequenze delle radiazioni emesse dai corpi riscaldati corrispondono a transizioni elettroniche tra livelli energetici quantizzati.